იაპონელი მათემატიკოსი მასაკი კაშივარა ქალაქ კიოტოდანაა. ამ ქალაქის ერთ-ერთი ღირსშესანიშნაობა კამოს მდინარეა. ხიდის გარდა, ამ მდინარის გადაკვეთა წყალში ჩაყრილი დიდი ქვებითაც შეიძლება. თუ კარგად დააკვირდებით, შეამჩნევთ, რომ ამ ქვების გარშემო წყალი მორევსა და პატარა ნაკადებს წარმოქმნის. სითხის ასეთი დინების აღწერა მარტივი არ არის. ამ ამოცანის შესასრულებლად უამრავი განტოლების ამოხსნაა საჭირო. მიუხედავად იმისა, რომ თითოეული ეს განტოლება საუკუნეების წინ აღმოაჩინეს, ისინი იდუმალებას დღემდე ინარჩუნებს. ყოველთვის აქვს თუ არა განტოლებებს ამონახსნი? როგორ უნდა გამოვთვალოთ? რა თვისებები აქვს? ერთი შეხედვით, მათემატიკოსებმა ამ მხრივ თავიანთი შესაძლებლობები ამოწურეს. პროგრესისთვის ახალი ხელსაწყოები გახდა საჭირო. მასაკი კაშივარამ ასეთი ხელსაწყოები ჯერ კიდევ 1970-იან წლებში განავითარა.

მათემატიკოსმა ალგებრის უკვე დამტკიცებული მეთოდები მათემატიკურ ანალიზშიც დანერგა. მათემატიკური ანალიზი თეორიაა, რომელიც კალკულუსს უდევს საფუძვლად. იგი ისეთ ცნებებს იკვლევს, როგორიცაა, მაგალითად, ფუნქციები, ზღვრები, ინტეგრალები, წარმოებულები და სხვა. კაშივარამ და მისმა კოლეგებმა მათემატიკის ახალ დარგს — ალგებრულ ანალიზს — ჩაუყარეს საფუძველი. ამან უამრავი სხვა დარგიც მნიშვნელოვნად განავითარა. მაგალითად, კაშივარამ წარმატებით ამოხსნა ამოცანა, რომელიც მე-20 საუკუნის დასაწყისში მათემატიკოსმა დავიდ ჰილბერტმა მოიფიქრა. კაშივარამ ასევე უამრავი ახალი ტექნიკა განავითარა, რომელსაც თანამედროვე ფიზიკაში იყენებენ.

სწორედ კაშივარა გახდა წლევანდელი აბელის პრემიის ლაურეატი. ეს ერთ-ერთი უმაღლესი ჯილდოა მათემატიკოსთათვის. ამ პრემიას ნორვეგიის მეცნიერებათა აკადემია გასცემს, რომლის პრესრელიზშიც ნათქვამია, რომ მათემატიკოსმა საოცარი თეორემების დამტკიცება შეძლო, თანაც იმ მეთოდებით, რომელზეც აქამდე არავის ჰქონდა ნაფიქრი.

კაშივარა 1947 წელს ტოკიოს მახლობლად დაიბადა. მან მათემატიკისადმი ინტერესი ადრეულ ასაკშივე აღმოაჩინა ტრადიციული იაპონური თავსატეხის — tsurukamezan — საშუალებით. თავსატეხი შემდეგნაირია: მოცემული გვაქვს რამდენიმე წერო და კუ. ჩანს ხელების x რაოდენობა და ფეხების y რაოდენობა. რამდენი კუ და წეროა სულ? კაშივარას მშობლებს მათემატიკასთან შეხება არ ჰქონიათ, თუმცა პატარა მათემატიკოსი ამ თავსატეხის ამოსახსნელად ალგებრულ მეთოდებს სიამოვნებით იყენებდა.

თავსატეხის ერთ-ერთი მაგალითი ასეთია: თითოეულ წეროსა და კუს, შესაბამისად, ორი და ოთხი ფეხი (y) აქვს. თავი (x) კი თითოეულ მათგანს მხოლოდ ერთი. იმისთვის, რომ გამოვთვალოთ, თუ რამდენი კუ (k) და რამდენი წეროა (s), უნდა ამოვხსნათ შემდეგი განტოლებები: 2k + 4s = y და k + s = x. მაგალითად, თუ 16 ფეხი და 5 თავი ჩანს, ჯამში 2 წერო და 5 კუ ყოფილა გამოსახული.

კაშივარა მიხვდა, რომ მსგავსი შეკითხვების განზოგადება ძალიან დიდ სიამოვნებას ანიჭებდა. სკოლაში მიღწევები მუდმივად ჰქონდა. ტოკიოს უნივერსიტეტში მას მიკიო სატო ასწავლიდა. კაშივარა სწორ დროს და სწორ ადგილას აღმოჩნდა, რადგან სატო და მისი კოლეგები მათემატიკის ახალ დარგს ქმნიდნენ, რომელიც ორ სხვადასხვა დარგს გააერთიანებდა — ალგებრასა და ანალიზს.

სამყაროში უძრავი არაფერია

კაშივარა მენტორებთან ერთად დიფერენციალურ განტოლებებზე მუშაობდა. სამყაროში ყველაფერი მოძრაობს. არაფერია მუდმივად უძრავი. ისეთი გიგანტური მთებიც კი, როგორიც ჰიმალაია, დროთა განმავლობაში იზრდება ან იკუმშება. მსგავსი ცვლილების მათემატიკურად გამოსახვა წარმოებულის გამოყენებით შეგვიძლია. ფიზიკა თითქმის მთლიანად არის დაფუძნებული წარმოებულის შემცველ განტოლებებზე, რომლებსაც დიფერენციალურ განტოლებებს ვეძახით. ამ განტოლებების გამოყენება მრავალმხრივია. მათი საშუალებით ცოცხალ ორგანიზმთა პოპულაცია, მთვარის ტრაექტორია, მდინარე კამოს დინება და უამრავი სხვა რამ შეგვიძლია აღვწეროთ.

დიფერენციალური განტოლებების ჩაწერა მარტივია, თუმცა ამოხსნა — ბევრად რთული. ზოგ შემთხვევაში ამოხსნა ცნობილია, ზოგში კი — ისიც არ ვიცით, საერთოდ აქვს თუ არა განტოლებას ამონახსნი. ყოველთვის აქვს თუ არა ამონახსნი ნავიე-სთოქსის განტოლებებს (სითხეების დინების აღმწერი განტოლებები)? ეს ერთ-ერთი მნიშვნელოვანი პასუხგაუცემელი შეკითხვაა მათემატიკაში.

ცნობილი მეთოდია, რომ თუ ამოცანის ამოხსნაზე დიდხანს წვალობთ და მაინც არ გამოგდით — სხვა პერსპექტივიდან უნდა შეხედოთ. თუ ამოცანას შორიდან შეხედავთ, კონკრეტული დეტალები ბუნდოვანი გახდება, თუმცა ზოგადი სურათი მეტად გამოიკვეთება. ეს არა მარტო ყოველდღიურ ცხოვრებაში, არამედ მათემატიკაშიც სასარგებლო ტაქტიკაა.

სატოს გუნდმაც მსგავსი მიდგომა გამოიყენა. მათ დიფერენციალური განტოლებების სხვა კუთხით დანახვა სცადეს. ამისთვის მათ მათემატიკური ანალიზის მიდგომები გვერდზე გადადეს და დასახმარებლად ალგებრას "მიმართეს". ზოგადად ალგებრა უფრო აბსტრაქტულია. ეს დარგი ორიენტირებულია არა მათემატიკურ ობიექტებზე (ამ შემთხვევაში, განტოლებებსა და წარმოებულებზე), არამედ მათ ქცევაზე. როგორც ფიზიკაში შეგვიძლია ნაწილაკის ბუნების შეცნობა სხვა ნაწილაკებთან მის ურთიერთქმედებაზე დაკვირვებით, ასევე შეიძლება ახალი დასკვნების გამოტანა სხვადასხვა დიფერენციალური განტოლების ურთიერთკავშირის შესწავლით. სწორედ ეს იდეა უდევს ალგებრულ ანალიზს საფუძვლად.

გარდა ამისა, სატომ და მისმა კოლეგებმა დიფერენციალური განტოლებების არა მხოლოდ სიბრტყეზე, არამედ გამრუდებულ სივრცეებზე მოძრაობაც დაუშვეს — თითქოს უცნაური ფორმის პლანეტაზე მდინარის დინებას აღწერდნენ. ეს მიდგომა საშუალებას გვაძლევს გამოვიყვანოთ დიფერენციალური განტოლებების ის ზოგადი თვისებები, რაც ერთი კონკრეტული განტოლების შემთხვევაში არ იკვეთება, თუმცა რამდენიმე განტოლების ერთად აღების შემთხვევაში აშკარა ხდება.

კაშივარა 23 წლის მაგისტრანტი იყო, როცა შემოიღო ე.წ. "D-მოდულები". მათი საშუალებით დიფერენციალური განტოლებებისგან სასარგებლო ინფორმაციის მიღება შეიძლება. ეს მოდულები გამოიყენება, მაგალითად, იმის განსაზღვრისთვის, შეიცავს თუ არა განტოლების ამონახსნი "სინგულარობებს" — ანუ არსებობს თუ არა რეგიონები, სადაც ამონახსნი უსასრულო მნიშვნელობებს იღებს. D-მოდულები იმის გამოსათვლელადაც გამოიყენება, თუ რამდენი ამონახსნი აქვს განტოლებას.

1900 წელს მათემატიკოსმა დავიდ ჰილბერტმა საერთაშორისო კონგრესზე 23 ამოცანა წარადგინა. მისი აზრით, ამ შეკითხვებზე პასუხების პოვნა მე-20 საუკუნის მათემატიკის ძირითადი მისია უნდა ყოფილიყო. 23 პრობლემიდან 21-ე პრობლემა დიფერენციალურ განტოლებებს ეხებოდა. გერმანელ მათემატიკოსს სურდა გაეგო, შესაძლებელი იყო თუ არა ისეთი დიფერენციალური განტოლების პოვნა, რომლის ამონახსნსაც მოცემულ გამრუდებულ ზედაპირზე სინგულარობები ექნებოდა. კაშივარამ დაამტკიცა, რომ ეს შესაძლებელია.

D-მოდულები არა მარტო მათემატიკაში, არამედ ფიზიკაშიც უამრავ მიღწევას უდევს საფუძვლად. 2023 წელს ანა-ლაურა ზათელბერგერმა და მისმა კოლეგებმა D-მოდულები კვანტურ ფიზიკაში "გზის ინტეგრალების" შესაფასებლად გამოიყენეს. ამ ინტეგრალებს ვიყენებთ ნაწილაკთა ამაჩქარებელში მიმდინარე პროცესების გამოსათვლელად, მაგალითად, რა ხდება როცა ორი პროტონი ერთმანეთს ეჯახება.

სიმეტრია და კვანტური ჯგუფები

კაშივარამ მათემატიკის სხვა დარგებშიც მნიშვნელოვანი წვლილი შეიტანა, მაგალითად, წარმოდგენის თეორიაში, რომელიც სიმეტრიის აღსაწერად გამოიყენება. საგანი სიმეტრიულია, თუ გარკვეული გარდაქმნების (შებრუნება, არეკვლა და ა.შ.) შემდეგაც კი იმავენაირად გამოიყურება. მაგალითად, ტოლგვერდა სამკუთხედი 120-გრადუსის ჯერადი კუთხის გრადუსული ზომებით შეგვიძლია შევატრიალოთ ისე, რომ ფორმა არ შეეცვალოს.

მიუხედავად ამისა, ყველა სახის სიმეტრიას შესაბამისი წარმოდგენა არ მოეძებნება. კაშივარამ უწყვეტი სიმეტრიები გამოიკვლია, რომლებსაც მათემატიკაში ლის ჯგუფებს ეძახიან. მან მნიშვნელოვანი აღმოჩენები ამ დარგშიც იპოვა.

მან ასევე დისკრეტული კვანტური ჯგუფები შეისწავლა, რომლებიც უწყვეტი არ არის. ეს ჯგუფები კვანტურ ფიზიკაში მნიშვნელოვან როლს თამაშობს. მიკროსკოპულ დონეზე სიდიდეების უმრავლესობა მხოლოდ მცირე ნაწილებად ჩანს; თითქოს უმცირეს მასშტაბებზე სამყარო კვანტიზებულია. კვანტიზებული სიდიდეების სიმეტრიის აღსაწერად, კაშივარამ კრისტალური ბაზების ცნება შემოიღო. ამ ბაზებში კვანტური ჯგუფები მიმართულ ქსელებადაა წარმოდგენილი. ეს უამრავ პრობლემას ამარტივებს, რადგან წარმოდგენის თეორიის ამოცანებში კომბინატორიკის გამოყენების შესაძლებლობას იძლევა, რაც სასრულ სიმრავლეში ობიექტების განლაგებას გულისხმობს.

კაშივარას წლების განმავლობაში უამრავი ჯილდო აქვს მიღებული. აბელის პრემია კი მისი მიღწევების კულმინაციაა. აბელის პრემია ნობელის პრემიის მსგავსია, რადგან ნობელის პრემია მათემატიკის დარგში არ გაიცემა. პრემიის ფულადი ჯილდო 710 000 აშშ დოლარია.

78 წლის მასაკი კაშივარა პენსიაზე გასვლას არ ფიქრობს. მეტიც, ის დღემდე აქტიურადაა ჩართული კვლევაში და ახალ ნაშრომებს მუდმივად აქვეყნებს.