ავსტრალიის ახალი სამხრეთი უელსის უნივერსიტეტის მათემატიკოსმა, ნორმან უაილდბერგერმა მათემატიკის ერთ-ერთი ყველაზე ძველი ამოცანა ამოხსნა — მაღალი რიგის პოლინომიალური განტოლებები, რომლებიც ექსპერტებს უკვე 200 წელზე მეტია აბნევს. იგი ამ ნაშრომზე კომპიუტერულ მეცნიერთან, დინ რუბაინთან ერთად მუშაობდა.

რასაკვირველია, ამ ყველაფრის გაგება მათემატიკის არმცოდნე ადამიანებისთვის საკმაოდ რთულია. მოკლედ რომ ვთქვათ, პოლინომიალური განტოლება არაუარყოფით ხარისხში აყვანილი ცვლადების შემცველი განტოლებაა, მაგალითად x³. თუ ეს ხარისხი 5 ან უფრო მაღალი რიცხვია, ასეთ განტოლებას მაღალი რიგის მრავალწევრი ეწოდება.

მათემატიკოსებს დიდი ხანია გარკვეული აქვთ, თუ როგორ უნდა ამოხსნან დაბალი რიგის მრავალწევრები. ამისდა მიუხედავად, მაღალი რიგის მრავალწევრის გამოთვლა ამ დრომდე შეუძლებლად მიიჩნეოდა. ახალ კვლევამდე იძულებულნი ვიყავით მხოლოდ მიახლოებულ მნიშვნელობებს დავყრდნობოდით.

უაილდბერგერმა და რუბაინმა სრულიად ახალი მიდგომა გამოიყენეს. ეს მიდგომა კატალანის რიცხვებზეა დაფუძნებული. ეს რიცხვები დათვლის რთულ სისტემებსა და განლაგებებში გამოიყენება. მათ შორის იმ შემთხვევაშიც, როცა ვითვლით, თუ რამდენი განსხვავებული გზით შეიძლება მრავალკუთხედის სამკუთხედებად დაყოფა.

კატალანის რიცხვების იდეის გავრცობით მკვლევრებმა აჩვენეს, რომ მათი გამოყენება ნებისმიერი ხარისხის პოლინომიალური რიცხვების ამოსახსნელად შეიძლება. გენიალური მეთოდის ერთი ნაწილი გულისხმობს მრავალკუთედების რაოდენობის სხვა ფიგურებზე გავრცობას — გარდა სამკუთხედისა.

ეს ტრადიციული მეთოდიდან გადახვევაა. როგორც წესი, მსგავსი განტოლებების ამოსახსნელად ფესვის შემცველ გამოსახულებებს იყენებენ. ამის ნაცვლად, ახალი მიდგომა კომბინატორიკას ეყრდნობა — რიცხვების მზარდად გართულებული გზებით დათვლას.

"მიიჩნევა, რომ კატალანის რიცხვები კვადრატული განტოლებების ამოხსნასთანაა დაკავშირებული. ჩვენი ინოვაცია იმ იდეაშია, რომ თუ უფრო მაღალი რიგის განტოლებების ამოხსნას ვცდილობთ, კატალანის რიცხვების უფრო მაღალი ანალოგები უნდა ვეძებოთ", — განმარტავს უაილდბერგერი.

მკვლევრებმა თავიანთი ახალი ალგებრა ისტორიულად ცნობილი პოლინომიალური განტოლებების პირისპირ გამოცადეს, მათ შორის, ჯონ უოლისის შესწავლილი კუბური განტოლების. შედეგები ერთმანეთს ემთხვეოდა. ამან კვლევის სისწორე დაადასტურა.

ამისდა მიუხედავად, უაილდბერგერი და რუბაინი აქ არ გაჩერებულან. მათ ახალი მათემატიკური სტრუქტურაც აღმოაჩინეს, რომელსაც გეოდი უწოდეს. იგი კატალანის რიცხვებთან არის დაკავშირებული და, როგორც ჩანს, მათი საფუძვლის როლს ასრულებს. მათემატიკოსთა თქმით, გეოდი სამომავლოდ შეიძლება მრავალი კვლევისა თუ აღმოჩენის საწინდარი გახდეს.

ეს მიდგომა მნიშვნელოვნად განსხვავდება აქამდე გამოყენებულისგან. აქედან გამომდინარე არსებობს პოტენციალი, რომ მათემატიკის ბევრ ძირითად იდეას თავიდან გადავხედოთ — მათ შორის კომპიუტერულ ალგორითმებში, მონაცემთა სტრუქტურებსა და თამაშთა თეორიაში. შესაძლოა, ამ მიდგომას გამოყენება ბიოლოგიაშიც კი მოეძებნოს — მაგალითად, რნმ მოლეკულის დაკეცვის ვარიანტების დათვლაში.

კვლევა გამოცემაში The American Mathematical Monthly გამოქვეყნდა.