სამ საუკუნეზე მეტია მკვლევრები ლოჯისტიკური და ფინანსური საკითხებისა თუ წმინდა მათემატიკური პრობლემების გადასაჭრელად, ისააკ ნიუტონის შემუშავებულ ალგორითმს იყენებენ. ეს მარტივი, მაგრამ ეფექტიანი მეთოდი ნამდვილად გასაოცარია, რადგან იგი საშუალებას გვაძლევს ვიპოვოთ მიახლოებითი პასუხები, მაშინ, როდესაც ზუსტი გამოთვლების ჩატარება მეტისმეტად რთულია. ამისდა მიუხედავად, ყველა მეთოდს აქვს მინუსები, თუნდაც ისტორიაში ერთ-ერთი უდიდესი მოაზროვნის მიერ იყოს შემუშავებული. ამ შემთხვევაში პრობლემა ისაა, რომ ალგორითმი ყველა ფუნქციაზე ერთნაირად კარგად არ მუშაობს, რის გამოსწორებასაც აქტიურად ცდილობენ მეცნიერები.

მკვლევართა ჯგუფი ნიუტონის მეთოდის განვითარებაზე მუშაობს, რაც მას უწინდელზე ეფექტურს გახდის. გასული წლის ზაფხულში პრინსტონის უნივერსიტეტის პროფესორმა ამირ ალი აჰმადიმ თავის ყოფილ სტუდენტებთან, აბრარ ჩოდრისთან და ჯეფრი იანგთან ერთად მნიშვნელოვან წინსვლას მიაღწია. მათი ნაშრომი ნიუტონის მეთოდის გაუმჯობესებულ ვერსიას წარმოადგენს, რომელიც ეფექტურია ურთულესი კლასის ფუნქციებთანაც კი, რითაც ეს საუკუნეების წინანდელი ტექნიკა ახალ სიმაღლეებზე ავიდა.

"ნიუტონის მეთოდს ოპტიმიზაციის ათასობით ვარიანტი აქვს. შესაძლოა, ჩვენმა ალგორითმმა მისი სრული ჩანაცვლებაც კი შეძლოს", — განაცხადა აჰმადიმ.

მრავალი ფუნქცია რამდენიმე ცვლადს შეიცავს და რთული სტრუქტურისაა, რაც პირდაპირ გამოთვლას შეუძლებელს ხდის. 1680-იან წლებში ისააკ ნიუტონმა შეიმუშავა მეთოდი, რომელიც ამ პრობლემის გადასაჭრელად ორ მნიშვნელოვან ბერკეტს, ფუნქციის დახრილობასა (პირველი წარმოებული) და მისი ცვლილების სიჩქარეს (მეორე წარმოებული) იყენებს.

მისი მიდგომა გულისხმობს რთული ფუნქციის მარტივ კვადრატულ განტოლებამდე დაყვანას, მისი მინიმუმის პოვნას და ამ პროცესის გამეორებას მანამ, სანამ ნამდვილი მინიმუმი არ მოიძებნება.

ნიუტონის მეთოდი ბევრად უფრო სწრაფია, ვიდრე სხვა ტექნიკები, როგორიცაა, მაგალითად თანამედროვე მანქანური სწავლების მოდელში ფართოდ გამოყენებული გრადიენტული გაზომვები.

მათემატიკოსები დიდი ხანია ცდილობენ ნიუტონის მეთოდის გაუმჯობესებას. მე-19 საუკუნეში რუსმა მათემატიკოსმა პაფნუტი ჩებიშევმა გამოთქვა ვარაუდი, ფუნქციის კუბურ განტოლებამდე დაყვანის შესახებ, მაგრამ ის არ მუშაობდა მრავალცვლადიან განტოლებებზე.

უახლეს წარსულში, 2021 წელს, ბუდაპეშტის კორვინუსის უნივერსიტეტის მათემატიკოსმა იური ნესტეროვმა შეიმუშავა მეთოდი, რომელიც მრავალცვლადიან ფუნქციებს კუბური განტოლებების გამოყენებით ხსნიდა. სამწუხაროდ, მისი უფრო რთულ ფუნქციებზე განვრცობა, როგორებიცაა მეოთხე ან მეხუთე ხარისხის განტოლებები, არაეფექტური აღმოჩნდა. მიუხედავად ამ შეზღუდვისა, მისი ნაშრომი ოპტიმიზაციის სფეროში მნიშვნელოვან წინსვლას წარმოადგენდა.

აჰმადიმ, ჩოდრიმ და იანგმა, სწორედ იური ნესტეროვის ნაშრომზე დაყრდნობით შექმნეს ალგორითმი, რომელიც ნებისმიერი რაოდენობის ცვლადებსა და წარმოებულებს ეფექტურად უმკლავდება, რაც აქამდე შეუძლებლად მიიჩნეოდა.

ამის მისაღწევად, მათ რთული მათემატიკური დაბრკოლების გადალახვა მოუწიათ.

ნიუტონის მეთოდის მთავარი სისუსტე იმაში მდგომარეობდა, რომ ის ვერ უზრუნველყოფდა სწრაფ და უნივერსალურ გზას რთული ფუნქციების მინიმუმის საპოვნელად.

ზოგიერთ ფუნქციას განსაკუთრებული მახასიათებლები აქვს, რაც მათ მინიმუმამდე დაყვანას ამარტივებს. ახალ ნაშრომში აჰმადი, ჩოდრი და იანგი ამტკიცებენ, რომ ყოველთვის შესაძლებელია ფუნქციის ისეთ განტოლებებამდე დაყვანა, რომლებიც ამ ხელსაყრელი მახასიათებლების გამოყენებით ამოხსნის პროცესს გაამარტივებენ.

აღმოჩნდა, რომ განტოლების მინიმუმის პოვნა უფრო ადვილი ხდება, თუ მას ორი ძირითადი თვისება აქვს. პირველი, ის უნდა იყოს ამოზნექილი და მეორე, კვადრატების ჯამამდე დაიყვანებოდეს. სამწუხაროდ ამ თვისებებზე დაყრდნობით შექმნილი ტექნიკა, ნიუტონის მეთოდზე არ ვრცელდებოდა, რადგან პროცესში გამოყენებულ ტეილორის მიახლოებას, როგორც წესი, არ გააჩნია აღნიშნული მახასიათებლები. ამის მიუხედავად, მკვლევრებმა semidefinite programming ტექნიკის გამოყენებით შეძლეს შეეცვალათ ტეილორის მიახლოება, იმგვარად, რომ მას ორივე სასურველი მახასიათებელი, კვადრატების ჯამი და ამოზნექილობა, გასჩენოდა.

"საფუძველი იგივე რჩება, მაგრამ შეგვიძლია ტეილორის მიახლოება ოდნავ შევცვალოთ, რათა მისი მინიმუმამდე დაყვანა გამარტივდეს", — განმარტა აჰმადიმ.

ტეილორის მიახლოების ამ მოდიფიცირებული ფორმის გამოყენებით, აჰმადიმ და მისმა კოლეგებმა დაასკვნეს, რომ მათი ალგორითმი ყოველთვის მიემართება ფუნქციის ნამდვილი მინიმუმისკენ, მიუხედავად იმისა, რამდენი წარმოებული მონაწილეობს პროცესში. მათ ასევე აღმოაჩინეს, რომ მინიმუმამდე მისვლის სიჩქარე წარმოებულების რაოდენობასთან ერთად იზრდება.

ახალი მეთოდის წყალობით, აჰმადიმ, ჩოდრიმ და იანგმა ნიუტონის ტექნიკის უფრო დახვეწილი ვერსია შექმნეს, რაც საშუალებას იძლევა ფუნქციის ნამდვილ მინიმუმს იმაზე ნაკლებ ციკლში მივაგნოთ, ვიდრე აქამდე შეიძლებოდა.

იმის მიუხედავად, რომ აღმოჩენა ცალსახად დიდი წინ გადადგმული ნაბიჯია, Quanta Magazine-ის სტატიაში აღნიშნულია, რომ ამ ახალი ალგორითმის თითოეული ციკლი იმდენად დიდ რესურსს მოითხოვს, რომ მისი პრაქტიკაში დანერგვა ძალიან რთული იქნება.