მათემატიკის უმარტივესი ოპერაციები, როგორიცაა მიმატება და გამოკლება, მეტობა და ნაკლებობა, ან ტოლობა და უტოლობა, უბრალოდ, აქსიომატურადაა მიღებული და ადამიანები ამ ოპერაციებს საკმაოდ მარტივად, მეტწილად ინტუიტიურად სწავლობენ.

მართლაც, 1+1=2 იმიტომ, რომ ერთ რაღაცას რომ მეორე მსგავსი რაღაც დავუმატოთ, ორი მსგავსი რაღაც გვექნება. 1 რაღაცას 0 რაღაც რომ დავუმატოთ, ისევ 1 რაღაც გვექნება და ა.შ. თუმცა, მათემატიკური აზროვნება რაღაც დონემდე თანშობილი უნარივითაა, ისევე, როგორც სხვა ადამიანური თვისებები, მაგალითად მხედველობა.

ან მე არ მჭირდება, რომ ათასობით სფერო ვნახო, რათა გავიგო რა არის სფერო. როცა 1 სფეროს ვნახავ, მისი თვისებები ჩემს ტვინში აღიბეჭდება და შემდეგი სფეროს დანახვისას მივხვდები, რომ სფეროს ვუყურებ და არა სამკუთხედს. შეიძლება სფეროს მოცულობის ფორმულა არ ვიცოდე, მაგრამ მას ინტუიტიურად ვხვდებოდე.

მათემატიკაში ინტუიციის ადგილი ნაკლებადაა. მათემატიკოსები საუკუნეების მანძილზე ცდილობდნენ გამოეყვანათ აბსტრაქტული წესები, რომლებიც სამყაროს აღწერის საშუალებას მოგვცემდა. პითაგორას თეორემა ევკლიდურ გეომეტრიაში ჭეშმარიტია, რა ზომისაც არ უნდა იყოს კათეტი და ჰიპოტენუზა.

ანუ, a^2 + b^2 = c^2, სადაც a და b კათეტებია და c ჰიპოთენუზაა. ამ თეორემას მრავალნაირი დასაბუთება აქვს, სადაც სხვადასხვანაირადაა განმარტებული თეორემის თითოეული მდგენელი: რა არის ჰიპოტენუზა? რა არის კათეტი? რა არის სამკუთხედი? რა არის კუთხე? ამ კითხვებზე პასუხი ევკლიდური გეომეტრიიდან გამომდინარეობს, რომლის სწავლითაც თეორემის უკუინჟინერია შეგიძლიათ.

როცა მათემატიკაში რამის დასაბუთებას ვცდილობთ უნდა განვმარტოთ რას ნიშნავს თითოეული ელემენტი.

სიზუსტე მნიშვნელოვანია

როცა ვსვამთ კითხვას, როგორ დავასაბუთოთ, რომ 1+1=2-ს, გარკვეული არაა საერთოდ რას ნიშნავს + ან რას ნიშნავს =, ინტუიტიურად კი ვხვდებით, მაგრამ ფორმალური განმარტება არ გვაქვს. ამიტომ მთავარ კითხვაზე პასუხის გაცემა აქედან უნდა დავიწყოთ;

• დასაბუთება არის დედუქციების თანმიმდევრობა აქსიომებიდან და დაშვებებიდან, სადაც ყოველ ნაბიჯზე, ინფორმაციას დედუქციით ვასკვნით აქსიომებიდან, დაშვებებიდან და მანამდე დედუქცირებული წინადადებებიდან;
• აქსიომა უბრალოდ დაშვებაა;
• 1,+,2,=, არის სიმბოლოები, სადაც = აღნიშნავს ტოლობას. ორი რამ ერთმანეთის ტოლია მაშინ და მხოლოდ მაშინ, თუ ორი რამ ერთიდაიგივეა.

ახლა თუ ძალიან მოვინდომებთ, ზემოთ მოყვანილი წინადადებების ყველა სიტყვის განმარტება შეგვიძლია; რა არის თანმიმდევრობა, რა არის სიმბოლო და ა.შ, იქამდე სანამ ჩვენ განმარტებას მეტად ვეღარ გავამარტივებთ. ბუნებრივია, არა?

ფილოსოფოსების რაღაც ჯგუფი, მეცხრამეტე-მეოცე საუკუნეში, მიიჩნევდა, რომ ყველა წინადადების განმარტება ასე შეიძლება და ყველა დებულების (რომელიც ან ჭეშმარიტია ან მცდარი). მაგალითად პითაგორას თეორემის მარტივ ჭეშმარიტებებამდე, აქსიომებამდე დაყვანა შეიძლება. თუ სხვადასხვა დებულებები, იქნება ეს პითაგორას თეორემა თუ რაიმე კანონი ფიზიკიდან, საბოლოოდ ელემენტარულ აქსიომებამდე დადის, მაშინ შეგვიძლია შევქმნათ რაღაც უნივერსალური "ყველაფრის თეორია".

ზემოხსენებულში დარწმუნებულ მეცნიერებს და ფილოსოფოსებს, "ლოგიკური ატომიზმის" ფილოსოფიური ჩარჩოს ან გნებავთ, მიმდინარეობის დაფუძნებას მიაწერენ. მათი ამბიცია არ გამართლდა, თუმცა ამის მიზეზებს ცალკე სტატიისთვის მოვინახავ, მანამდე 1+1=2-ის დასაბუთებას მივუბრუნდეთ.

1+1=2 და პეანოს არითმეტიკა

მათემატიკური დებულებების დასაბუთებისას, ვსაუბრობთ მათემატიკურ ობიექტებზე და მათზე ოპერაციებზე, ამიტომ ამ შემთხვევაში 1+1=2-ის დასაბუთება ბანანების მაგალითის გარეშე მოგვიწევს. ანუ, მაგალითდ 1 არის სიმბოლო, რომელიც აღნიშნავს მათემატიკურ ობიექტს.

დასაბუთებისთვის დავეყრდნოთ პეანოს აქსიომებს (PA). ეს აქსიომები მათემატიკაში ნატურალური რიცხვების განმარტებისთვის ფართოდ გამოიყენება. დავუშვათ, რომ ნატურალური რიცხვების რაობა დასაბუთებული გვაქვს და ვიცით რა არის, ამიტომ პეანოს აქსიომებიდან მხოლოდ "მიმატების" აქსიომები განვიხილოთ.

PA-ში სამი ძირითადი სიმბოლო გვაქვს — 0, როემლიც ნატურალური რიცხვია, S და +. აქსიომები შემდეგნაირად გამოიყურება;

1. ყველა x და y-ისთვის, S(x)=S(y) მხოლოდდამხოლოდ მაშინ, თუ x=y;

2. ყველა x-ისთვისთ ან x=0, ან არის ისეთი y, რომ x=S(y);

3. არ არსებობს ისეთი x, რომ S(x)=0;

4. ყველა x და y-ისთვის, x+y=y+x;

5. ყველა x-ისთვის, x+0=x;

6. ყველა x და y-ისთვის, x+S(y)=S(x+y).

თუ დაიბენით განვმარტავ, რომ აქსიომებიდან აშკარაა, რომ S(x) უნდა აღვიქვათ, როგორც x+1(ანუ x-ის მომდევნო რიცხვი). x ნებისმიერ რიცხვს აღნიშნავს. ანუ (1)-ში წერია, რომ რიცხვი, რომელიც x-ს მოსდევს, ტოლი იქნება რიცხვის, რომელიც y-ს მოსდევს მაშინ და მხოლოდ მაშინ, თუ x და y ერთიდაიგივეა. (4)-ში ნაგულისხმებია, რომ ორი რიცხვის ჯამი ერთიდაიგივეა, არ აქვს მნიშვნელობა მიმატებისას რომელი რიცხვი რომელს მოსდევს. უფრო მარტივად რომ ითქვას; შესაკრებთა გადანაცვლებით, ჯამი არ იცვლება.

ახლა განვმარტოთ რა არის 1 და 2. 1 შეგვიძლია ჩავწეროთ, როგორც S(0), ანუ ის რაც 0-ს მოსდევს. 2 შეგვიძლია ჩავწეროთ როგორც S(1), ან მეორე მხრივ როგორც S(S(0)). ახლა ჩვენ მთავარ მიზანს მივუბრუდნეთ; არსებული აქსიომებით დავასაბუთოთ, რომ 1+1=2.

1. S(0)+S(0)=S(S(0)+0) (საბუთდება (6)-ით);

2. S(0)+0=S(0) (საბუთდება 5-ით);

3. S(S(0)+0)=S(S(0)) (საბუთდება მეორე დედუქციით და (1)-ით);

4. S(0)+S(0)=S(S(0)) (საბუთდება პირველი და მესამე დედუქციით).

თუ გვინდა, რომ 1+1≠2, მაშინ აქსიომები უბრალოდ შემდეგნაირად უნდა ჩავწეროთ;

1. 1≠2

2. ყველა x da y-ისთვის, x+y=x

ახლა შეგვიძლია დავასაბუთოთ, რომ 1+1≠2

1. 1+1=1 (მეორე აქსიომა x=1-ისთვის)

2. 1≠2 (პირველი აქსიომიდან)

3. 1+1 ≠2 (პირველი და მეორე დედუქციიდან)

1+1=2-ის დასაბუთება სხვაგვარადაც შეიძლება, ლამბდა-კალკულუსით ან რამე სხვა მიდგომით, რომელიც გაგიხარდებათ. თუმცა, ვფიქრობ, დასაწყისისთვის ზემოხსენებული კმარა.

ახლა სრულად აღჭურვილი ხართ იმისთვის, რომ წვეულებაზე გამოაცხადოთ "მე 1+1=2-ის დასაბუთება ვიცი", ოღონდ ფრთხილად იყავით, შეიძლება თქვენით დაინტერესებული რომანტიული პარტნიორების რიგი ძალიან დიდი აღმოჩნდეს (ან ძალიან ცოტა... ვინ იცის).