მათემატიკოსებმა კაკეიას ჰიპოთეზის სახელით ცნობილი ერთ-ერთი ყველაზე კომპლექსური გეომეტრიული პრობლემა გადაჭრეს. ჰიპოთეზის მთავარი კითხვაა, თუ რა არის სიბრტყის ის მინიმალური ფართობი, სადაც მონაკვეთი შეიძლება 180 გრადუსით შემოვაბრუნოთ?

ეს შეკითხვა პირველად იაპონელ მათემატიკოს სოიჩი კაკეიას 1917 წელს გაუჩნდა, როდესაც მაგიდის სიბრტყეზე ნემსს ატრიალებდა და ამ პრობლემის კვლევა დაიწყო. თუ ნემსს მისი ცენტრის გარშემო დაატრიალებთ, შედეგად აუცილებლად წრეს მიიღებთ. ამის მიუხედავად, მისი გადაადგილება შესაძლებელია სხვაგვარი გზებითაც, რათა ნაკლები სივრცე შემოიწეროს.

კაკეიამ შემოიღო ისეთი სამკუთხედის ცნება, რომლის გვერდებიც მცირედით შეზნექილია. ასეთ სამკუთხედს დელტოიდი ეწოდა. ჩვეულებრივ პირობებში მიღებული იყო თეორია იმის შესახებ, რომ ნემსს 360-გრადუსიანი წრის შემოწერა უწევს, რათა ყველა მიმართულება აითვისოს. კაკეიას დელტოიდმა, რომელსაც წრეზე ნაკლები ფართობი აქვს, ეს თეორია უარყო.

დელტოიდი დაახლოებით წრის ნახევარია, მაგრამ მალევე გაირკვა, რომ შესაძლებელი იყო ბევრად მცირე ფართობის მქონე კონსტრუქციის შექმნაც. ყველა ასეთ კონსტრუქციას კაკეიას მრავლობა ეწოდა, ანუ გეომეტრიული ფიგურა, რომელიც შეიცავს ერთეული სიგრძის მონაკვეთებს ყველა შესაძლო მიმართულებით.

1919 წელს რუსმა მათემატიკოსმა აბრამ ბეზიკოვიჩმა დაამტკიცა, რომ ნემსების (ანუ მონაკვეთების) გარკვეული განლაგებით შესაძლებელი იყო ისეთი მრავლობის აგება, რომლის ფართობიc სურვილისამებრ მცირე შეიძლება ყოფილიყო. Quanta Magazine-ის სტატიაში იდეა შემდეგნაირადაა განმარტებული: ავიღოთ სამკუთხედი, გავყოთ ვიწრო სამკუთხედებად, შემდეგ კი გადავანაწილოთ ისე, რომ მაქსიმალურად გადაფაროს ერთმანეთი, მაგრამ მიმართულებები ოდნავ განსხვავდებოდეს. ამ პროცესის უსასრულოდ გამეორებით ფართობის მინიმუმამდე დაყვანაა შესაძლებელი. საბოლოოდ, ბეზიკოვიჩმა აჩვენა, რომ თეორიულად შესაძლებელია ნულოვანი ფართობის მქონე მრავლობის მიღება, რომელიც ყველა შესაძლო მიმართულებას მაინც ფარავსა.

თეორიის განვითარებასთან ერთად სულ უფრო მეტი კითხვა ჩნდებოდა. ბეზიკოვიჩისა და შემდგომში თომას ვოლფის წყალობით, ორ განზომილებაში თეორია სრულყოფილად ჩამოყალიბდა. ბოლო რამდენიმე წლის განმავლობაში მათ კაკეიას მრავლობის სხვადასხვა ვარიანტი შექმნეს, მაგრამ პრობლემა, რომელიც სამგანზომილებიან სივრცეში იმავე შედეგის მიღებას ეხება, დღემდე გადაუჭრელი რჩებოდა.

ბოლო პერიოდში ამ თეორიის პროგრესი თითქოს შეწყდა, მაგრამ ახლა ორმა მათემატიკოსმა მნიშვნელოვან შედეგს მიაღწია. მათი ახალი მტკიცებულება ანგრევს იმ ბარიერს, რომელიც ათწლეულების განმავლობაში არსებობდა. ესენი არიან ჰონგ ვანგი და ჯოშუა ზალი. პირველი ნიუ-იორკის უნივერსიტეტის კურანის სახელობის მათემატიკურ მეცნიერებათა ინსტიტუტის ასოცირებული პროფესორია, მეორე კი — ბრიტანული კოლუმბიის უნივერსიტეტის მათემატიკის დეპარტამენტის ასოცირებული პროფესორი.

მათ ცოტა ხნის წინ arXiv-ზე გამოაქვეყნეს ნაშრომი, რომელსაც ჯერ რეფერირება არ გაუვლია. ვანგმა და ზალმა დაამტკიცეს, რომ კაკეიას მრავლობა, ვერ იქნება "მეტისმეტად მცირე" — ანუ შესაძლებელია, ამ მრავლობების ფართობი სამგანზომილებიან სივრცეშიც კი ნულის ტოლი იყოს და სამგანზომილებიანი სტრუქტურა მაინც შეინარჩუნოს.

"ზომის გეომეტრიულ თეორიაში (GMT) საოცარი პროგრესი გვაქვს: ჰონგ ვანგმა და ჯოშუა ზალმა ახლახან გამოაქვეყნეს პირველადი ნაშრომი, რომელმაც კაკეიას ნაკრების ცნობილი ჰიპოთეზის სამგანზომილებიანი შემთხვევა საბოლოოდ ამოხსნა!", — განაცხადა UCLA-ს მათემატიკის პროფესორმა ტერენს ტაომ, რომელმაც 2006 წელს ფილდზის მედალი მოიპოვა.

გავლენა მათემატიკისა და სხვა სფეროებზე

კურანის სახელობის ინსტიტუტის მათემატიკის დეპარტამენტის თავმჯდომარის, ეიალ ლუბეცკის, განცხადებით, ნაშრომი 21-ე საუკუნის ერთ-ერთი უმნიშვნელოვანესი მათემატიკური მიღწევაა. ამავე ინსტიტუტის პროფესორი გუიოდო დე ფილიპსი კი ამბობს, რომ ეს "მათემატიკის ბრწყინვალე ნიმუშია" და მას აქვს მოლოდინი, რომ კვლევის ავტორების იდეები მომდევნო წლებში მრავალი მნიშვნელოვანი გარღვევის საფუძველი გახდება.

"ეს არის პრობლემა, რომელზეც მსოფლიოს უდიდესი მათემატიკოსები მუშაობდნენ, რაც არცაა გასაკვირი. ის მარტივად გასაგები, მაგრამ ძალიან ღრმა საკითხია, რომელიც ჰარმონიულ ანალიზთან და ზომის გეომეტრიული თეორიის მრავალ მნიშვნელოვან პრობლემასთანაა დაკავშირებული", – ამბობს პაბლო შმერკინი, ბრიტანეთის კოლუმბიის უნივერსიტეტის მათემატიკის პროფესორი.

გარდა იმისა, რომ მიღებული შედეგი ზომის გეომეტრიულ თეორიაში უდიდესი გარღვევაა, ის ასევე ახალ შესაძლებლობებს ხსნის ჰარმონიულ ანალიზში, რიცხვთა თეორიაში, კომპიუტერულ მეცნიერებასა და კრიპტოგრაფიაში.

ეს აღმოჩენა კიდევ ერთი შესანიშნავი მაგალითია იმისა, თუ როგორ შეუძლია ერთი შეხედვით აბსტრაქტულ მათემატიკურ პრობლემას არამარტო გადალახოს თეორიული საზღვრები, არამედ გავლენა იქონიოს სხვა დარგებზეც. კაკეიას ნაკრებზე მრავალწლიანი კვლევა გვაჩვენებს, რომ გეომეტრია და ანალიზი არ არის მხოლოდ ფორმულებისა და თეორემების ერთობლიობა — ესაა მათემატიკური ფანჯარა, რომლის მიღმაც სამყაროს უჩინარი სტრუქტურები იმალება და, ვინ იცის, იქნებ ეს ნაშრომი მხოლოდ დასაწყისია?!